Le calcul sur les vecteurs repose sur trois opérations dont la maîtrise conditionne tout le reste : addition, soustraction, produit scalaire. Nous traitons ici chaque opération avec ses subtilités algébriques, en supposant acquises les notions de coordonnées dans un repère orthonormé et de norme euclidienne.
Coordonnées et opérations composante par composante sur les vecteurs
Toute opération vectorielle se ramène, dans un repère orthonormé, à un travail sur les composantes. Un vecteur u(x ; y) se manipule comme un couple de réels, et c’est cette réduction qui rend le calcul efficace.
L’addition de deux vecteurs u(x₁ ; y₁) et v(x₂ ; y₂) donne le vecteur résultant w(x₁ + x₂ ; y₁ + y₂). La soustraction suit la même logique : u – v produit le vecteur (x₁ – x₂ ; y₁ – y₂). Aucune difficulté ici, à condition de respecter le signe de chaque composante.
L’erreur la plus fréquente que nous observons ne porte pas sur le mécanisme, mais sur la lecture des coordonnées. Un vecteur AB se calcule par (xB – xA ; yB – yA), et non l’inverse. Inverser l’ordre revient à calculer BA, ce qui change le signe des deux composantes et fausse toute la chaîne de calcul en aval.
Commutativité de l’addition, non-commutativité de la soustraction
u + v = v + u, toujours. La soustraction, elle, ne commute pas : u – v et v – u sont des vecteurs opposés. Confondre les deux dans un exercice d’alignement ou de colinéarité mène à une conclusion géométrique inversée.
En dimension trois, le principe reste identique. On ajoute une troisième composante z, et chaque opération s’applique composante par composante. Rien de nouveau sur le plan logique, mais la probabilité d’erreur de signe augmente mécaniquement avec le nombre de coordonnées.
Produit scalaire : formule en coordonnées et formule trigonométrique
Le produit scalaire de deux vecteurs u et v n’est pas un vecteur. C’est un nombre réel. Cette distinction est fondamentale et source de confusion persistante.
En coordonnées dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule par u · v = x₁x₂ + y₁y₂. En dimension trois : x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. C’est la méthode la plus directe quand les composantes sont connues.
La formule trigonométrique, u · v = ||u|| × ||v|| × cos(θ), intervient quand on connaît les normes et l’angle entre les vecteurs, mais pas leurs coordonnées. Elle est particulièrement utile en géométrie pure, où les longueurs et les angles sont donnés sans repère.
Quand utiliser quelle formule du produit scalaire
Nous recommandons un choix systématique :
- Les coordonnées des deux vecteurs sont connues dans un repère orthonormé : appliquer directement x₁x₂ + y₁y₂, sans passer par les normes ni le cosinus.
- Les normes et l’angle sont donnés (triangle, parallélogramme, figure géométrique cotée) : utiliser ||u|| × ||v|| × cos(θ).
- Seules les normes de u, v et u – v (ou u + v) sont disponibles : recourir à la formule de polarisation, u · v = (||u||² + ||v||² – ||u – v||²) / 2.
La formule de polarisation est souvent négligée, alors qu’elle débloque les exercices où aucun angle n’est explicitement fourni. Elle découle directement du développement de ||u – v||².
Produit scalaire nul et orthogonalité des vecteurs
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut zéro. C’est le critère le plus fiable pour prouver une perpendicularité sans rapporteur ni figure.
En pratique, vérifier que x₁x₂ + y₁y₂ = 0 suffit à conclure. L’académie de Rennes cite d’ailleurs le produit scalaire comme support privilégié pour travailler la compétence « valider » au lycée, c’est-à-dire argumenter et contrôler la cohérence d’un résultat géométrique.
Ce critère d’orthogonalité s’étend naturellement à la recherche de projections orthogonales. Projeter un vecteur v sur un vecteur u revient à calculer (u · v / ||u||²) × u. Le scalaire obtenu avant multiplication indique si la projection est dans le même sens que u (positif) ou en sens opposé (négatif).
Propriétés algébriques du produit scalaire dans le calcul vectoriel
Le produit scalaire est bilinéaire, symétrique et défini positif. Ces trois propriétés ne sont pas décoratives : elles servent à chaque développement.
- Bilinéarité : (au + bw) · v = a(u · v) + b(w · v). On distribue le produit scalaire exactement comme un produit de nombres, ce qui permet de développer des expressions vectorielles complexes.
- Symétrie : u · v = v · u. L’ordre n’importe pas, contrairement au produit vectoriel en dimension trois.
- Défini positif : u · u = ||u||² ≥ 0, avec égalité si et seulement si u est le vecteur nul. C’est cette propriété qui relie le produit scalaire à la norme euclidienne.
Le développement de ||u + v||² illustre bien la puissance de ces règles : ||u + v||² = ||u||² + 2(u · v) + ||v||². On retrouve une identité analogue à (a + b)² = a² + 2ab + b², mais appliquée aux vecteurs. L’identité ||u – v||² = ||u||² – 2(u · v) + ||v||² en découle immédiatement.
Relation de Chasles et enchaînement d’opérations
La relation de Chasles, AB + BC = AC, n’est pas une propriété du produit scalaire mais de l’addition vectorielle. Elle permet de décomposer un vecteur en somme de vecteurs intermédiaires, ce qui simplifie de nombreux calculs. Combinée au produit scalaire, elle sert à exprimer AC · AD en fonction de vecteurs plus simples dont on connaît les normes ou les angles.
Un piège classique consiste à appliquer la relation de Chasles dans un produit scalaire sans distribuer correctement : (AB + BC) · AD = AB · AD + BC · AD, pas AB · AD + BC. Chaque terme du développement reste un produit scalaire, donc un réel.
Le calcul sur les vecteurs ne mobilise finalement qu’un nombre restreint de règles. La rigueur sur les signes des composantes et le choix de la bonne formule du produit scalaire déterminent la réussite de la quasi-totalité des exercices. Chaque identité (polarisation, développement de normes, critère d’orthogonalité) dérive des mêmes propriétés fondamentales de bilinéarité et de symétrie, ce qui rend l’ensemble cohérent à condition de ne jamais traiter le produit scalaire comme un vecteur.
